Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y <=3.
Tìm GTNN của \(A=\frac{2}{3xy}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn lnx + lny ≥ ln(x2+y) là các số thực dương thỏa mãn P = x + y
A. P = 6
B. P = 2 + 3 2
C. P = 3 + 2 2
D. P = 17 + 3
Đáp án C
Ta có
Khi đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 + 2 2
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln ( x 2 + y ) là các số thực dương thỏa mãn P = x + y
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + \(\dfrac{1}{y}\) = 1. Tìm GTNN của P = \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x 2 + y . Tính giá trị nhỏ nhất của P = x + y.
Đáp án B
Ta có ln x y = ln x + ln y ≥ ln x 2 + y
⇔ x y ≥ x 2 + y ⇔ y x - 1 ≥ x 2
Vì x = 1 không thỏa và y > 0 => x > 1
⇒ P = x y ≥ x 2 x - 1 + x = f x
X é t h à m s ố f x = x 2 x - 1 + x v ớ i x > 1
⇒ f ' x = x 2 - 2 x x - 1 2 + x = 2 x 2 - 4 x + 1 x - 1 2
⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 2 + 2 2 v ì x > 1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra
⇒ M i n P = M i n x > 1 f x = f 1 = 3 + 2 2 .
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 9ln2 x + 4ln2 y = 12ln x.ln y. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. x2 = y3
B. 3x = 2y
C. x3 = y2
D. x = y
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x 2 + y . Tính giá trị nhỏ nhất của P = x + y
A. P = 6
B. P = 3 + 2 2
C. P = 2 + 3 2
D. P = 17 + 3
Đáp án B
Ta có ln x y = ln x + ln y ≥ ln x 2 + y ⇔ x y ≥ x 2 + y ⇔ y x − 1 ≥ x 2
Vì x = 1 không thỏa và y > 0 ⇒ x > 1 ⇒ P = x y ≥ x 2 x − 1 + x = f x
Xét hàm số f x = x 2 x − 1 + x với x > 1
⇒ f ' x = x 2 − 2 x x − 1 2 + x = 2 x 2 − 4 x + 1 x − 1 2 → f ' x = 0 ⇔ x = 2 + 2 2 vì x > 1
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x suy ra ⇒ M i n P = M in x > 1 f x = f 1 = 3 + 2 2
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x 2 + y Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x+y
A. 6
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z=6\). Chứng minh rằng \(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4}{9}\)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)=36\)
áp dụng BĐT cosi :
\(z^2+\left(x+y\right)^2\ge2z\left(x+y\right)\)
<=> \(z^2+\left(x+y\right)^2+2z\left(x+y\right)\ge4z\left(x+y\right)=36< =>z\left(x+y\right)\ge9\)
ta lại có \(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) áp dụng BĐT buhihacopxki dạng phân thức => \(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{yz+xz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\left(đpcm\right)\)
dấu bằng xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}yz=xz< =>x=y\\x+y+z=6\\z^2=\left(x+y\right)^2\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z=2x=2y\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}x=y=\dfrac{3}{2}\\z=3\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x+y}{xyz}=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz dạng Engel:
\(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\) (1).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương z và x+y, ta có:
\(z\left(x+y\right)\le\left(\dfrac{x+y+z}{2}\right)^2=9\). Suy ra, \(\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4}{9}\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4}{9}\) (đpcm).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{yz}=\dfrac{1}{xz}\) và \(z=x+y\).
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 4
Chứng minh : x + y >= xyz
Vì x,y,z dương nên xyz dương
nên chia cả hai vế của bđt ta được bđt \(\frac{x+y}{xyz}\ge1\)và ta cần chứng minh bđt này đúng thì bđt ban đầu được chứng minh
Ta có \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (*)
Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{z+x+y}{2}\right)^2=2^2=4\)=> \(\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)( AM-GM ) (**)
Từ (*) và (**) => \(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge1\)( đpcm )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=4\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y = √xy (x − y). Chứng minh rằng x + y ≥ 4